不定積分の計算メモ
不定積分の計算を自分のためにメモ。
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計算メモ
$a>0$, $b>0$ とする. このとき, $$ \frac{1}{a^{2}\cos^{2}x+b^{2}\sin^{2}x} = \frac{1}{b^{2}}\,\frac{1}{(a/b)^{2}+\tan^{2}x}\,\frac{1}{\cos^{2}x}. $$ $t=\tan x$ とおくと, $dt=(1/\cos^{2}x)\,dx$ であるから, 置換積分法により, \begin{align*} \int\frac{dx}{a^{2}\cos^{2}x+b^{2}\sin^{2}x} &= \frac{1}{b^{2}}\int\frac{dt}{(a/b)^{2}+t^{2}} \\ &= \frac{1}{b^{2}}\,\frac{b}{a}\arctan\left(\frac{b}{a}\,t\right) + C \\ &= \frac{1}{ab}\arctan\left(\frac{b}{a}\tan x\right) + C. \end{align*} ただし, $C$ は積分定数.